Chief-Net.ru - Системы исчисления

Введение.

Совсем недавно я обнаружил, что многим нелегко даётся понимание шестнадцатеричной и двоичной систем исчисления. Поэтому этот FAQ я посвящу им. Начнём с простого. Все мы знаем десятичную систему исчисления, так как обычно только с ней и сталкиваешься. Возьмём число 1234.

Степень 10	3	2	1	0
цифра	1	2	3	4
Таблица №1

Число 1234 это ничто иное как 1∙10³+2∙10²+3∙10¹+4∙10⁰=1234

Таким образом цифры составляют десятичное число. Если с этим всё понятно, тогда с помощью алгебры можно записать в общем виде уравнение числа любой системы исчисления.

Допустим, A-число состоит из n цифр системы исчисления D, тогда его можно записать так: А=а_n∙D^n-1+а_n-1∙D^n-2+ʌ+а₂∙D¹+а₁∙D⁰(Ур.1), где a - цифры этого числа.

Теперь о системах исчисления по подробнее.

Двоичная система.

Система исчисления с числом цифр 2: 0 и 1 (D=2). В компьютере информация кодируется двумя состояниями: сигналами пассивного уровня или активного уровня, т.е. 0 или 1. Поэтому эта система исчисления и была разработана. Теперь применим уравнение 1 к двоичной системе и получим число 1001.

Если это понятно, то как нам перейти от 10 системы к двоичной? Нужно делить последовательно на два.

10	2
10	5	2
0	4	2	2
\|	1	2	1
\|	\|	0	\|
\/	\/	\/	\/
0	1	0	1
<--	---	---	---

Стрелкой показан порядок записи цифр остатков от деления на 2. Наше число 10 десятичное это ничто иное, как 1010 двоичное. Далее, чтобы не было разночтений, я буду писать 10₁₀, где нижний индекс основание системы исчисления.

Шестнадцатеричная система.

D=16. Пожалуй, с ней исследователю РОМов приходится сталкиваться очень часто. Как вы уже заметили, двоичная система исчисления очень неудобна для записи. Чтобы написать число 10₁₀надо 4 двоичных цифры. А 8 цифр дают всего лишь 255₁₀. Поэтому было решено перейти для записи к системе кратной двоичной: шестнадцатеричной. Цифры этой системы: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Применяя уравнение 1, можно записать число 1F₁₆

15∙16¹+15∙16⁰=15+16=31

1F₁₆=31₁₀

Преобразование из 10 к 16, всё то же деление на D=16

31	16
16	1
15	4
\|	1
\|	\|
\/	\/
F	1
<---	---

Записываем остатки в обратном порядке и получаем 1F (естественно заменяя 15 на F).

Восьмеричная система исчисления.

D=8 утратила свое значение, уступив место 16-ричной системе исчисления. Но она всё также преподаётся в университетах и школах. Все то же самое, что и для 16.

Применяя уравнение 1, можно записать число 246₈ как:

2∙8²+4∙8¹+6∙8⁰=128+32+6=166

246₈=166₁₀

Преобразование из 10 к 8, всё то же деление на D=8

166	8
160	20	8
6	16	2
\|	4	\|
\|	\|	\|
\/	\/	\/
6	4	2
<--	--	--

Записываем остатки в обратном порядке, получаем 246.

Преобразование двоичной системы к 16, 8-ричной и обратно.

10	16	2
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111
Таблица №2

На практике такое часто нужно. Как это сделать? Нужно просто заменить двоичные цифры

Имеем 2-ичное число 1010001 дополняем спереди его нулями, чтобы количество цифр было кратно 4: 0101 0001, и заменяем полученные тетрады по таблице.

Получаем 51₁₆=1010001₂ .

Теперь с 8-миричной системой всё то же самое, только заменяем не тетрады, а триады.

Подчёркнутый 0 не учитывать. 11100 дополняем нулями спереди чтобы число цифр было кратно 3. и заменяем по таблице 2: 011 100₂=34₈ .

Легко заметить, что обратное преобразованием ничем ни отличается.

Допустим 1F₁₆=0001 1111₂. Или 24₈=010 100₂

Всё очень просто, не правда ли?

Дроби.

Как дело обстоит с дробями? Описанный формат дроби не соответствует его представлению в памяти персонального компьютера, но изучается в университетах, для базиса знаний. Чтобы перейти потом к сложному. Итак, помните таблицу 1?

А что с десятичной дробью? Оказывается всё просто: 1234,12

Степень 10	3	2	1	0	-1	-2
цифра	1	2	3	4	1	2
Таблица №3

1∙10³+2∙10²+3∙10¹+4∙10⁰+1∙10^-1+2∙10^-2=1234,12

Уравнение 1 примет вид.

А-целое, B-дробное.Число=C=A+B

А=а_n∙D^n-1+а_n-1∙D^n-2+ʌ+а₂∙D¹+а₁∙D⁰для целой части

И для дробной части.

B=b₁∙D^-1+b₂∙D^-2+ʌ+b₂∙D^-(k-1)+b_k∙D^-k

Для преобразования дроби в двоичную систему исчисления необходимо умножать её на два. Возьмем число 8,12.

8₁₀=1000₂
0,12x2=0,24 нет ничего в целой части пишем в дробь 0,0
0,24x2=0,48 нет ничего в целой части пишем в дробь 0,00
0,48x2=0,96 нет ничего в целой части пишем в дробь 0,000
0,96x2=1,92 в целой части 1 пишем в дробь 0,0001
Отбрасываем целое и продолжаем
0,92х2= И так пока не выйдем на заданный предел точности, ну а я решил остановиться.

Выходит что 8,12₁₀~1000.0001₂
С шестадцатиричными числами всё также, только умножаем на 16. Если есть в целой части число, пишем в дробь его, если нет, то пишем 0.

Чтобы сократить число умножений при преобразовании 10-тичной дроби в 2-ичную, вначале её приводят к шестнадцатеричной записи, а потом переводят её в двоичную по методу, описанному выше заменой на тетрады по таблице.

Пример :

Число 0,625₁₀
0,625x16=10 10о в целой части пишем в дробь 0,A
Теперь преобразуем двоичную по таблице 0,1010₂. (A=1010)
Проверим: 2^-1+2^-3=0,5+0,125=0,625

Как видите и с дробями ничего сложного. Если кого-либо заинтриговала тема, пишите. Возможно FAQ получит развитие. С уважением, Шеф (chief_exb).